Halo sahabat Tutor Indonesia

Dalam pelajaran matematika, kita mengenal suatu penghitungan dengan konsep memahami matriks. Matriks sangat berguna dalam ilmu matematika pada sejumlah bidang seperti ilmu komputer, teknik, fisika, serta ekonomi. Sama seperti matematika pada umumnya, matriks dapat diterapkan dalam penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan invers. Matriks dinilai sebagai konsep matematika yang mempunyai peran penting dalam segala bidang di dunia modern. Pada artikel ini, akan dijelaskan terkait konsep dasar memahami matriks, operasi, serta pengaplikasian matriks secara nyata.

Definisi Matriks

Sumber: Freepik

Memahami matriks merupakan suatu bilangan yang disusun menyerupai persegi panjang dengan penempatan yang terdiri dari kolom dan baris. Setiap bilangan dalam matriks disebut elemen atau entri matriks. Angka tersebut disisipkan ke dalam tanda kurung “( )”. Matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital seperti A , B , atau C , dan elemen-elemennya dinyatakan sebagai a _ij , di mana i menunjukkan nomor baris dan j menunjukkan nomor kolom.

Seperti yang sudah dijelaskan, matriks tersusun dari beberapa bilangan yang disebut unsur matrik. Lalu, wujud matriks terdiri dari baris, kolom, dan ordo. Baris merupakan angka yang disusun secara mendatar, sementara kolom yaitu angka-angka yang ditempatkan dari atas ke bawah. Kemudian, ordo yaitu seberapa banyak angka pada elemen baris dan elemen kolom dalam matriks. Adapun tampilan matriks akan ditampilkan pada gambar berikut ini.

Contoh matriks:

Matriks A di atas adalah matriks berukuran 3×3 (tiga baris dan tiga kolom).

Konsep memahami matriks kerap diterapkan untuk menyelesaikan beragam masalah dalam ilmu matematika. Masalah tersebut meliputi persamaan linear, transformasi linear yang merupakan bentuk dari fungsi linear seperti rotasi dalam tiga dimensi.

Matriks pun bisa digunakan dalam operasi penghitungan matematika pada umumnya seperti penjumlahan, pengurangan hingga perkalian.

Perkembangan Matriks

Sumber: Freepik

Perkembangan matriks adalah perjalanan panjang yang melibatkan evolusi konsep-konsep matematis dari masa ke masa. Berikut adalah garis besar perkembangan matriks dari zaman kuno hingga era modern:

Awal Mula dan Zaman Kuno

Mesopotamia dan Mesir Kuno: Bangsa-bangsa kuno seperti Mesopotamia dan Mesir menggunakan metode penyelesaian sistem persamaan yang mirip dengan konsep matriks. Misalnya, mereka memiliki teknik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, tetapi tanpa notasi matriks.

China Kuno: Pada abad ke-2 SM, matematikawan Tiongkok seperti Liú Huì dan Zhang Heng menggunakan metode yang dapat dianggap sebagai bentuk awal dari matriks operasi.

Sepatu Abad

India dan Timur Tengah: Matematikawan India seperti Brahmagupta dan Bhaskara II mengembangkan metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier yang dapat dianggap sebagai langkah awal dalam teori matriks. Matematikawan Islam seperti Al-Khwarizmi juga memberikan dasar penting untuk aljabar yang berhubungan dengan konsep matriks.

Abad ke-17 dan ke-18

Konsep determinan: Pada abad ke-17, matematikawan seperti Gottfried Wilhelm Leibniz dan Jacobi Bernoulli mengembangkan teori determinan, yang sangat penting dalam teori matriks. Determinan adalah fungsi Skalar yang dapat dihitung dari elemen-elemen matriks dan digunakan dalam berbagai aplikasi, seperti menemukan invers matriks dan menyelesaikan sistem persamaan linear.

Abad ke-19

Notasi dan Definisi Formal:

Arthur Cayley (1821–1895): Cayley adalah salah satu pelopor utama dalam teori pengembangan matriks. Pada tahun 1858, Cayley memperkenalkan notasi matriks modern dan mendefinisikan konsep matriks invers. Ia juga mengembangkan teori aljabar matriks, termasuk karakteristik matriks dan konsep dasar lainnya.

Matriks dalam Geometri: Pada akhir abad ke-19, matematikawan seperti Georg Cantor dan Felix Klein mulai menggunakan matriks dalam konteks geometri dan transformasi.

Abad ke-20

Teori Matriks Modern:

David Hilbert: Hilbert memperluas konsep matriks dalam konteks ruang Hilbert, yang merupakan ruang vektor dengan produk di dalamnya. Ini memberikan dasar untuk banyak teori modern dalam analisis fungsional.

John von Neumann: Von Neumann mengintegrasikan teori matriks dalam berbagai bidang, termasuk teori permainan, komputasi, dan mekanika kuantum. Kontribusinya sangat penting dalam pengembangan teori matriks yang digunakan dalam ilmu komputer dan fisika.

Pengembangan Algoritma: Dengan munculnya komputer, operasi matriks menjadi penting dalam komputasi numerik. Algoritma untuk perhitungan matriks seperti faktorisasi LU, dekomposisi QR, dan metode iteratif dikembangkan untuk mempermudah perhitungan dan aplikasi praktis.

Abad ke-21

Komputasi dan Aplikasi Modern:

Analisis Data dan Big Data: Dalam era data besar, matriks digunakan dalam berbagai aplikasi analisis data, termasuk matriks dekomposisi untuk rekomendasi, analisis komponen utama (PCA), dan matriks sparsity.

Matriks dalam Fisik dan Teknik: Dalam teknik dan fisika, matriks digunakan untuk memodelkan sistem dinamis, kontrol otomatis, dan simulasi komputer.

Jenis matriks

Sumber: Freepik

Untuk mengetahui konsep-konsep matriks, ada baiknya Anda terlebih dahulu memahami jenis-jenisnya agar tidak salah membedakannya. Adapun berbagai jenis matriks antara lain:

Matriks nol

Merupakan matriks yang seluruh elemennya adalah nol. Contohnya

Matriks kolom

Dinamai matriks kolom karena elemen penyusunnya berupa satu kolom. Contohnya

Matriks baris

Berbeda dengan matriks kolom, matriks baris berupa elemen penyusunny yang terdiri dari satu baris. Contohnya

Matriks persegi

Maksud persegi di sini yaitu baris dan kolom yang memiliki jumlah yang sama menyerupai persegi. Contohnya

Matriks diagonal

Matriks ini dikenal mempunyai seluruh elemennya nol, namun tidak pada diagonal utama. Angka pada diagonal utama berupa angka berapapun selain nol. Contoh

Matriks skalar

Merupakan matriks yang memiliki nilai elemen sama pada diagonal utamanya, dengan nilai nol selain pada diagonal utama. Contohnya

Matriks identitas

Hampir mirip dengan matriks skalar, namun matriks identitas memiliki nilai elemen utamanya yakni angkat satu. Contohnya

Matriks simetris

Matriks persegi yang elemen-elemen di atas dan di bawah diagonal utamanya sama. Jika A adalah matriks simetris, maka A = A ^T . Contoh:

Matriks anti simetris

Matriks persegi di mana AT ⁼ − A , yaitu elemen-elemen di atas diagonal utama adalah negatif dari elemen-elemen yang bersesuaian di bawah diagonal utama. Contoh

Operasi Dasar pada Matriks

Sumber: Freepik

Ada beberapa operasi dasar yang dapat dilakukan pada matriks, antara lain penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan invers matriks.

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang sesuaian dari kedua matriks. Matriks yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan harus memiliki ukuran yang sama.

Contoh:

Jumlah:

pengurangan:

Matriks Perkalian

Perkalian matriks tidak sama dengan perkalian skalar biasa. Diperlukan jumlah kolom yang sama antara matriks A dan B agar dapat dilakukan penghitungan. Hasil kali matriks A dan B adalah matriks baru C , di mana elemen c _ij adalah hasil penjumlahan dari perkalian elemen-elemen baris ke- i dari matriks A dengan elemen-elemen kolom ke- j dari matriks B .

Contoh:

Perkalian:

Matriks Invers

Matriks invers adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks maka akan menghasilkan matriks identitas. Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen-elemen diagonal utamanya adalah 1 dan elemen-elemen lainnya adalah 0.

Contoh matriks identitas 2×2:

Matriks A memiliki invers A⁻¹ jika AA⁻¹ = A⁻¹A = I . Tidak semua matriks memiliki invers; matriks yang memiliki invers disebut matriks invertible atau non-singular.

Aplikasi Matriks

Sumber: Freepik

Matriks digunakan dalam berbagai bidang, antara lain:

Ilmu Komputer

Matriks digunakan dalam pengolahan citra digital, grafik komputer, dan analisis data. Dalam mesin pembelajaran dan kecerdasan buatan, matriks digunakan untuk menyimpan dan memanipulasi data serta melakukan operasi matematika yang kompleks.

Fisika

Matriks digunakan untuk menggambarkan transformasi linier dan rotasi dalam ruang tiga dimensi. Mereka juga digunakan dalam mekanika kuantum untuk menggambarkan keadaan sistem mekanika.

Ekonomi

Dalam perekonomian, matriks digunakan untuk memodelkan input-output yang menggambarkan hubungan antara berbagai sektor ekonomi. Matriks juga digunakan dalam analisis portofolio dan optimasi keuangan.

Teknik

Di bidang teknik, matriks digunakan dalam analisis struktur, sistem kontrol, dan pemodelan sistem dinamis. Mereka membantu insinyur merancang dan menganalisis sistem yang kompleks.

Statistik

Dalam statistik, matriks digunakan dalam analisis regresi, analisis varian, dan berbagai metode statistik lainnya. Matriks juga digunakan dalam pengolahan data besar dan analisis multivariat.

Jadi, apa lagi yang ditunggu? Hubungi kami segera di line telepon (021) 77844897 atau kamu juga bisa menghubungi kami melalui 085810779967 . Atau klik www.tutorindonesia.co.id untuk mendapatkan informasi lebih lanjut.

referensi